It would be presumptuous on my part to attempt to answer this question, but I want to share with other MOers this recent paper

http://www.ihes.fr/~lafforgue/math/TheorieCaramello.pdf

of Laurent Lafforgue and this video

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/Contenus/20130227_Lafforgue

of one of his recent lectures, [dont] le but [] est de poser cette question (inspirée par la théorie de Caramello) : l'indépendance de $l$ de la cohomologie $l$-adique et la correspondance de Langlands sont-elles des équivalences de Morita entre topos classifiants ?

Here is a quote from the paper : La théorie de Caramello... offre déjà un très grand nombre d'exemples d'équivalences de Morita et de leurs applications. Ces exemples sont étonnament divers et ils apparaissent presque toujours comme surprenants. Beaucoup d'énoncés auraient été très difficiles à démontrer, et plus encore à imaginer, sans les topos et sans les méthodes de calcul que la théorie des topos classiants et des équivalences de Morita rend possibles et naturelles. Quand on songe que la correspondance de Langlands ressemble beaucoup à une equivalence de Morita et qu'elle en est peut-être une, on se dit que le champ ouvert a cette théorie est immense.

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Here is a quote from the paper : La théorie de Caramello... offre déjà un très grand nombre d'exemples d'équivalences de Morita et de leurs applications. Ces exemples sont étonnament divers et ils apparaissent presque toujours comme surprenants. Beaucoup d'énoncés auraient été très difficiles à démontrer, et plus encore à imaginer, sans les topos et sans les méthodes de calcul que la théorie des topos classifiants et des équivalences de Morita rend possibles et naturelles. Quand on songe que la correspondance de Langlands ressemble beaucoup à une equivalence de Morita et qu'elle en est peut-être une, on se dit que le champ ouvert à cette théorie est immense.

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Here is a quote from the paper : La théorie de Caramello... offre déjà un très grand nombre d'exemples d'équivalences de Morita et de leurs applications. Ces exemples sont étonnament divers et ils apparaissent presque toujours comme surprenants. Beaucoup d'énoncés auraient été très difficiles à démontrer, et plus encore à imaginer, sans les topos et sans les méthodes de calcul que la théorie des topos classiants et des équivalences de Morita rend possibles et naturelles. Quand on songe que la correspondance de Langlands ressemble beaucoup à une equivalence de Morita et qu'elle en est peut-être une, on se dit que le champ ouvert a cette théorie est immense.