To add a bit to Jonas Meyer's answer.
Sierpiński's result was first published in C.R. Soc. Sc. Varsovie 1928, p. 84-87. It was reproduced in his monograph "Hypothèse du continu" (Lwów, 1934, p. 52):
Proposition $C_9$. Il existe une suite infinie convergente de fonctions d'une variable réelle
$f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x),...$ qui convergent non uniformément sur tout ensemble indénombrable.
Sierpiński effectively derived it from the statement which is implied by the continuum hypothesis (Ibid. p. 36):
Proposition $C_1$. Il existe un ensemble linéaire $N$ de puissance du continu qui admet un ensemble au plus dénombrable de points communs avec tout ensemble (linéaire) parfait non-dense.
