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[Une traduction française suit la version anglaise.]

The question is only about elliptic curves $E$ over $\mathbb{Q}$ and concerns only the aspect

(order of vanishing of $L(E,s)$ at $s=1$)$\ =\$(rank of $E(\mathbb{Q})$).

Let $r$ be the LHS and $d$ the RHS, so that (a special case of ) the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture is

BSD?. $r=d$.

By the end of the last millenium, we knew

Theorem (1977--2000). If $\ r=0,1$, then $d=r$ (and $\ \operatorname{Sha}(E)$ is finite).

Some years ago, I heard that there was some progress in proving $(r>0)\Longrightarrow (d>0)$ under the assumption of the finiteness of $\operatorname{Sha}(E)$. What is the current status of the

Statement. Suppose that $\operatorname{Sha}(E)$ is finite. If $r>1$, then $d>0$ ?

L'état actuel de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

On s'interesse uniquement aux courbes abéliennes $A$ sur $\mathbf{Q}$ et à l'aspect

(ordre d'annulation de $L(A,s)$ en $s=1$)$\ =\$(rang de $A(\mathbf{Q})$).

Désignons par $r$ le membre de gauche et par $d$ le membre de droite, de sorte que la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit (en particulier)

BSD? $r=d$.

Vers la fin du millénaire dernier, on avait démontré le

Théorème (1977--2000). Si $r=0,1$, alors $d=r$ (et $\ \operatorname{Cha}(A)$ est fini).

Il y a quelques années, j'avais entendu dire qu'on a fait des progrès concernant l'implication $(r>0)\Longrightarrow(d>0)$ sous l'hyposthèse l'hypothèse de la finitude de Cha$(A)$. Quel est l'état actuel de l'

Énoncé. Supposons que $\operatorname{Cha}(A)$ est fini. Si $r>1$, alors $d>0$ ?

2 Added the French translation, since many of the authors mentioned by Emerton are francophone.

[Une traduction française suit la version anglaise.]

The question is only about elliptic curves $E$ over $\mathbb{Q}$ and concerns only the aspect

(order of vanishing of $L(E,s)$ at $s=1$)$\ =\$(rank of $E(\mathbb{Q})$).

Let $r$ be the LHS and $d$ the RHS, so that (a special case of ) the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture is

BSD?. $r=d$.

By the end of the last millenium, we knew

Theorem (1977--2000). If $\ r=0,1$, then $d=r$ (and $\ \operatorname{Sha}(E)$ is finite).

Some years ago, I heard that there was some progress in proving $(r>0)\Longrightarrow (d>0)$ under the assumption of the finiteness of $\operatorname{Sha}(E)$. What is the current status of the

Statement. Suppose that $\operatorname{Sha}(E)$ is finite. If $r>1$, then $d>0$ ?

L'état actuel de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

On s'interesse uniquement aux courbes abéliennes $A$ sur $\mathbf{Q}$ et à l'aspect

(ordre d'annulation de $L(A,s)$ en $s=1$)$\ =\$(rang de $A(\mathbf{Q})$).

Désignons par $r$ le membre de gauche et par $d$ le membre de droite, de sorte que la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit (en particulier)

BSD? $r=d$.

Vers la fin du millénaire dernier, on avait démontré le

Théorème (1977--2000). Si $r=0,1$, alors $d=r$ (et $\ \operatorname{Cha}(A)$ est fini).

Il y a quelques années, j'avais entendu dire qu'on a fait des progrès concernant l'implication $(r>0)\Longrightarrow(d>0)$ sous l'hyposthèse de la finitude de Cha$(A)$. Quel est l'état actuel de l'

Énoncé. Supposons que $\operatorname{Cha}(A)$ est fini. Si $r>1$, alors $d>0$ ?

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The current status of the Birch & Swinnerton-Dyer Conjecture

The question is only about elliptic curves $E$ over $\mathbb{Q}$ and concerns only the aspect

(order of vanishing of $L(E,s)$ at $s=1$)$\ =\$(rank of $E(\mathbb{Q})$).

Let $r$ be the LHS and $d$ the RHS, so that (a special case of ) the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture is

BSD?. $r=d$.

By the end of the last millenium, we knew

Theorem (1977--2000). If $\ r=0,1$, then $d=r$ (and $\ \operatorname{Sha}(E)$ is finite).

Some years ago, I heard that there was some progress in proving $(r>0)\Longrightarrow (d>0)$ under the assumption of the finiteness of $\operatorname{Sha}(E)$. What is the current status of the

Statement. Suppose that $\operatorname{Sha}(E)$ is finite. If $r>1$, then $d>0$ ?