La réponse est oui. La raison est la suivante. Si $S$ est un schéma sur p est localement nilpotent, par définition (cf. thèse de Messing, chapitre I), un groupe de Barsotti-Tate tronqué d'échelon $1$ sur $S$ est un schéma en groupes fini localement libre sur $S$ annulé par $p$ tel que si $G_0$ désigne la réduction de $G$ modulo $p$ on ait
$$
Im (F_{G_0}) = \ker (V_{G_0})
$$
comme faisceaux fppf sur $S_0$, $S_0$ désignant la réduction modulo $p$ de $S$. Cependant, il résulte du critère de platitude fibre à fibre de EGA IV que le morphisme de $S_0$-schémas en groupes de présentation finie
$$
F:G_0 \rightarrow \ker (V_{G_0})
$$
est fidèlement plat si et seulement si il en est de même fibre à fibre sur $S_0$. De cela on déduit que dans la définition d'un $BT_1$ on peut remplacer $S_0$ par $S_{red}$ !

Dans les considérations précédentes j'ai pris un schéma $S$ sur lequel $p$ est localement nilpotent, mais il en résulte que l'on a le même type de définition-résultat sur une base qui est un schéma formel $p$-adique.

Revenons maintenant à nos moutons, c'est à dire la question de Kevin. On a donc $G$ un schéma en groupes fini et plat sur l'anneau des entiers de $K$
dont la fibre spéciale sur le corps résiduel de $K$ est un $BT_1$. Le schéme en groupes $G$ est donc un $BT_1$.

Nous allons maintenant utiliser le théorème suivant (cf. l'article d'Illusie aux journées arithmétiques de Rennes: "Déformations de groupes de Barsotti-Tate (d'après A. Grothendieck)", Astérisque 127). Si $\mathcal{BT}_1$, resp. $\mathcal{BT}$, désigne le champ des groupes de Barsotti-Tate tronqués d'échelon $1$, resp. des groupes de Barsotti-Tate, sur des bases qui sont des schémas sur lesquels $p$ est localement nilpotent, alors le morphisme "points de $p$-torsion"

$$
\mathcal{BT} \longrightarrow \mathcal{BT}_1
$$

est formellement lisse. De cela on déduit la chose suivante. Soit $k$ un corps parfait de caractéristique $p$ et $H$ un groupe $p$-divisible sur $k$. Soit $\mathfrak{X}$ l'espace des déformations de $H$, un $spf (W(k))$-schéma formel non-canoniquement isomorphe à
$spf \big (W(k)[[x_1,\dots,x_{d(h-d)}]]\big )$ où $h$ désigne la hauteur de $H$ et $d$ sa dimension.
Soit $\mathcal{H}$ la déformation universelle sur $\mathfrak{X}$. Alors, $\mathcal{H}[p]$ est une déformation verselle de $H[p]$.

Pour conclure et répondre à la question de Kevin il suffit maintenant d'invoquer le théorème de Serre-Tate qui montre que si $H=E[p^\infty]$ où $E$ est une courbe elliptique supersingulière sur $k$ alors $\mathfrak{X}$ est également l'espace des déformation de $E$. Appliquant le théorème d'algébrisation de Grothendieck (GAGF) on en déduit que si $\mathfrak{X}= spf (R)$, la déformation universelle de la courbe elliptique $E$ sur $\mathfrak{X}$ provient en fait d'une courbe elliptique sur $spec (R)$. Le résultat s'en déduit par spécialisation sur $\mathcal{O}_K$.

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