Lifting the p-torsion of a supersingular elliptic curve. - MathOverflow most recent 30 from http://mathoverflow.net 2013-05-22T19:04:58Z http://mathoverflow.net/feeds/question/10913 http://www.creativecommons.org/licenses/by-nc/2.5/rdf http://mathoverflow.net/questions/10913/lifting-the-p-torsion-of-a-supersingular-elliptic-curve Lifting the p-torsion of a supersingular elliptic curve. Kevin Buzzard 2010-01-06T13:04:58Z 2010-01-08T11:24:06Z <p>Let $K$ be a finite extension of $\mathbf{Q}_p$, with integer ring $R$ and residue field $k$. Say $G/R$ is a finite flat (commutative) group scheme of order $p^2$, killed by $p$. Say the special fibre of $G$ is isomorphic to the $p$-torsion in a supersingular elliptic curve over $k$. Is there some finite extension $L/K$ and an elliptic curve $E$ over $R_L$, the integers of $L$, such that $G$ becomes isomorphic to $E[p]$ over $R_L$?</p> <p>The reason I ask is that in a lemma in Vincent Pilloni's thesis (which I unfortunately cannot find online) he proves that if the special fibre of $G$ is as above then the "degree" of such a $G$ is 1 (see Fargues' work on Harder-Narasimhan filtrations, for example, for the definition of "degree") via a brute force calculation. Pilloni's assertion would however also be a consequence of an affirmative answer to my question (and provided the motivation for my question). People are so good at deformation theory of finite flat group schemes nowadays that I thought this might be well-known to some people nowadays.</p> http://mathoverflow.net/questions/10913/lifting-the-p-torsion-of-a-supersingular-elliptic-curve/11031#11031 Answer by Laurent F. for Lifting the p-torsion of a supersingular elliptic curve. Laurent F. 2010-01-07T12:43:11Z 2010-01-07T12:43:11Z <p>La réponse est oui. La raison est la suivante. Si $S$ est un schéma sur p est localement nilpotent, par définition (cf. thèse de Messing, chapitre I), un groupe de Barsotti-Tate tronqué d'échelon $1$ sur $S$ est un schéma en groupes fini localement libre sur $S$ annulé par $p$ tel que si $G_0$ désigne la réduction de $G$ modulo $p$ on ait $$Im (F_{G_0}) = \ker (V_{G_0})$$ comme faisceaux fppf sur $S_0$, $S_0$ désignant la réduction modulo $p$ de $S$. Cependant, il résulte du critère de platitude fibre à fibre de EGA IV que le morphisme de $S_0$-schémas en groupes de présentation finie $$F:G_0 \rightarrow \ker (V_{G_0})$$ est fidèlement plat si et seulement si il en est de même fibre à fibre sur $S_0$. De cela on déduit que dans la définition d'un $BT_1$ on peut remplacer $S_0$ par $S_{red}$ !</p> <p>Dans les considérations précédentes j'ai pris un schéma $S$ sur lequel $p$ est localement nilpotent, mais il en résulte que l'on a le même type de définition-résultat sur une base qui est un schéma formel $p$-adique.</p> <p>Revenons maintenant à nos moutons, c'est à dire la question de Kevin. On a donc $G$ un schéma en groupes fini et plat sur l'anneau des entiers de $K$ dont la fibre spéciale sur le corps résiduel de $K$ est un $BT_1$. Le schéme en groupes $G$ est donc un $BT_1$.</p> <p>Nous allons maintenant utiliser le théorème suivant (cf. l'article d'Illusie aux journées arithmétiques de Rennes: "Déformations de groupes de Barsotti-Tate (d'après A. Grothendieck)", Astérisque 127). Si $\mathcal{BT}_1$, resp. $\mathcal{BT}$, désigne le champ des groupes de Barsotti-Tate tronqués d'échelon $1$, resp. des groupes de Barsotti-Tate, sur des bases qui sont des schémas sur lesquels $p$ est localement nilpotent, alors le morphisme "points de $p$-torsion"</p> <p>$$\mathcal{BT} \longrightarrow \mathcal{BT}_1$$</p> <p>est formellement lisse. De cela on déduit la chose suivante. Soit $k$ un corps parfait de caractéristique $p$ et $H$ un groupe $p$-divisible sur $k$. Soit $\mathfrak{X}$ l'espace des déformations de $H$, un $spf (W(k))$-schéma formel non-canoniquement isomorphe à $spf \big (W(k)[[x_1,\dots,x_{d(h-d)}]]\big )$ où $h$ désigne la hauteur de $H$ et $d$ sa dimension. Soit $\mathcal{H}$ la déformation universelle sur $\mathfrak{X}$. Alors, $\mathcal{H}[p]$ est une déformation verselle de $H[p]$. </p> <p>Pour conclure et répondre à la question de Kevin il suffit maintenant d'invoquer le théorème de Serre-Tate qui montre que si $H=E[p^\infty]$ où $E$ est une courbe elliptique supersingulière sur $k$ alors $\mathfrak{X}$ est également l'espace des déformation de $E$. Appliquant le théorème d'algébrisation de Grothendieck (GAGF) on en déduit que si $\mathfrak{X}= spf (R)$, la déformation universelle de la courbe elliptique $E$ sur $\mathfrak{X}$ provient en fait d'une courbe elliptique sur $spec (R)$. Le résultat s'en déduit par spécialisation sur $\mathcal{O}_K$.</p> <p>P.S.: I read the rules for this forum: it is nowhere written the questions and answers should be written in english !!!!!!!! </p> http://mathoverflow.net/questions/10913/lifting-the-p-torsion-of-a-supersingular-elliptic-curve/11097#11097 Answer by Anton Geraschenko for Lifting the p-torsion of a supersingular elliptic curve. Anton Geraschenko 2010-01-08T03:33:28Z 2010-01-08T11:24:06Z <p>This is a rough translation of <a href="http://mathoverflow.net/questions/10913/lifting-the-p-torsion-of-a-supersingular-elliptic-curve/11031#11031" rel="nofollow">Laurent F.'s answer</a> (see <a href="http://meta.mathoverflow.net/discussion/142" rel="nofollow">this meta.MO thread</a>). It's community wiki so you can improve the translation if you have 100 rep.</p> <p><hr /></p> <p>The answer is yes. The reason is as follows. If $S$ is a scheme where $p$ is locally nilpotent, then by definition (cf. Messing's thesis, Chapter I), a truncated Barsotti-Tate group of level of $1$ over $S$ is a finite locally free group scheme over $S$ annihilated by $p$ such that if $G_0$ denotes the reduction of $G$ modulo $p$ we have $$Im (F_{G_0}) = \ker (V_{G_0})$$ as fppf sheaves on $S_0$, $S_0$ denoting the reduction modulo $p$ of $S$. However, it follows from the fiberwise criterion for flatness of EGA IV [Ed: he means EGA IV cor 11.3.11] that the morphism of $S_0$-group schemes of finite presentation $$F:G_0 \rightarrow \ker (V_{G_0})$$ is faithfully flat if and only if it is fiberwise over $S_0$. From this we deduce that in the definition of a $BT_1$ one can replace $S_0$ by $S_{red}$! </p> <p>In the above considerations I took a scheme $S$ where $p$ is locally nilpotent, it follows that we have the same type of definition-result over a base which is a $p$-adic formal scheme.</p> <p>We now return to the subject, namely the question of Kevin. We have that $G$ is a finite flat group scheme over the ring of integers of $K$ whose special fiber over the residue field of $K$ is a $BT_1$. The group scheme $G$ is hence a $BT_1$. [Ed: in fact this statement already implies Pilloni's result, by other results in the above cited article of Illusie.]</p> <p>We will now use the following theorem (cf. the article of Illusie in Journees Arithmetiques de Rennes: "Déformations de groupes de Barsotti-Tate (d'après A. Grothendieck)", Astérisque 127). If <code>$\mathcal{BT}_1$</code>, resp. $\mathcal{BT}$ denotes the stack of truncated Barsotti-Tate groups of level $1$, resp. of Barsotti-Tate groups, over bases that are schemes in which $p$ is locally nilpotent, then the morphism "points of $p$-torsion" <code>$$\mathcal{BT} \longrightarrow \mathcal{BT}_1$$</code> is formally smooth. From this we deduce the following. Let $k$ be a perfect field of characteristic $p$ and $H$ a $p$-divisible group over $k$. Let $\mathfrak{X}$ be the space of deformations of $H$, a $spf (W(k))$-formal scheme non-canonically isomorphic to $spf \big(W(k)[[x_1,\dots,x_{d(h-d)}]]\big)$ where $h$ denotes the height of $H$ and $d$ dimension. Let $\mathcal{H}$ be the universal deformation of $\mathfrak{X}$. Then $\mathcal{H}[p]$ is a versal deformation of $H[p]$.</p> <p>To conclude and answer the question of Kevin it suffices to invoke the theorem of Serre-Tate, which shows that if $H=E[p^\infty]$ where $E$ is a supersingular elliptic curve over $k$ then $\mathfrak{X}$ is the space of deformations of $E$. Applying the algebraization theorem of Grothendieck (GAGF) we deduce that if $\mathfrak{X}=spf(R)$, the universal deformation of the elliptic curve $E$ over $\mathfrak{X}$ actually becomes an elliptic curve over $spec(R)$. The result follows by specialization to $\mathcal{O}_K$.</p>