Lifting the p-torsion of a supersingular elliptic curve. - MathOverflow

Lifting the p-torsion of a supersingular elliptic curve.

2010-01-06T13:04:58Z

Let $K$ be a finite extension of $\mathbf{Q}_p$, with integer ring $R$ and residue field $k$. Say $G/R$ is a finite flat (commutative) group scheme of order $p^2$, killed by $p$. Say the special fibre of $G$ is isomorphic to the $p$-torsion in a supersingular elliptic curve over $k$. Is there some finite extension $L/K$ and an elliptic curve $E$ over $R_L$, the integers of $L$, such that $G$ becomes isomorphic to $E[p]$ over $R_L$?

The reason I ask is that in a lemma in Vincent Pilloni's thesis (which I unfortunately cannot find online) he proves that if the special fibre of $G$ is as above then the "degree" of such a $G$ is 1 (see Fargues' work on Harder-Narasimhan filtrations, for example, for the definition of "degree") via a brute force calculation. Pilloni's assertion would however also be a consequence of an affirmative answer to my question (and provided the motivation for my question). People are so good at deformation theory of finite flat group schemes nowadays that I thought this might be well-known to some people nowadays.

Answer by Laurent F. for Lifting the p-torsion of a supersingular elliptic curve.

2010-01-07T12:43:11Z

La réponse est oui. La raison est la suivante. Si $S$ est un schéma sur p est localement nilpotent, par définition (cf. thèse de Messing, chapitre I), un groupe de Barsotti-Tate tronqué d'échelon $1$ sur $S$ est un schéma en groupes fini localement libre sur $S$ annulé par $p$ tel que si $G_0$ désigne la réduction de $G$ modulo $p$ on ait $$ Im (F_{G_0}) = \ker (V_{G_0}) $$ comme faisceaux fppf sur $S_0$, $S_0$ désignant la réduction modulo $p$ de $S$. Cependant, il résulte du critère de platitude fibre à fibre de EGA IV que le morphisme de $S_0$-schémas en groupes de présentation finie $$ F:G_0 \rightarrow \ker (V_{G_0}) $$ est fidèlement plat si et seulement si il en est de même fibre à fibre sur $S_0$. De cela on déduit que dans la définition d'un $BT_1$ on peut remplacer $S_0$ par $S_{red}$ !

Dans les considérations précédentes j'ai pris un schéma $S$ sur lequel $p$ est localement nilpotent, mais il en résulte que l'on a le même type de définition-résultat sur une base qui est un schéma formel $p$-adique.

Revenons maintenant à nos moutons, c'est à dire la question de Kevin. On a donc $G$ un schéma en groupes fini et plat sur l'anneau des entiers de $K$ dont la fibre spéciale sur le corps résiduel de $K$ est un $BT_1$. Le schéme en groupes $G$ est donc un $BT_1$.

Nous allons maintenant utiliser le théorème suivant (cf. l'article d'Illusie aux journées arithmétiques de Rennes: "Déformations de groupes de Barsotti-Tate (d'après A. Grothendieck)", Astérisque 127). Si $\mathcal{BT}_1$, resp. $\mathcal{BT}$, désigne le champ des groupes de Barsotti-Tate tronqués d'échelon $1$, resp. des groupes de Barsotti-Tate, sur des bases qui sont des schémas sur lesquels $p$ est localement nilpotent, alors le morphisme "points de $p$-torsion"

$$ \mathcal{BT} \longrightarrow \mathcal{BT}_1 $$

est formellement lisse. De cela on déduit la chose suivante. Soit $k$ un corps parfait de caractéristique $p$ et $H$ un groupe $p$-divisible sur $k$. Soit $\mathfrak{X}$ l'espace des déformations de $H$, un $spf (W(k))$-schéma formel non-canoniquement isomorphe à $spf \big (W(k)[[x_1,\dots,x_{d(h-d)}]]\big )$ où $h$ désigne la hauteur de $H$ et $d$ sa dimension. Soit $\mathcal{H}$ la déformation universelle sur $\mathfrak{X}$. Alors, $\mathcal{H}[p]$ est une déformation verselle de $H[p]$.

Pour conclure et répondre à la question de Kevin il suffit maintenant d'invoquer le théorème de Serre-Tate qui montre que si $H=E[p^\infty]$ où $E$ est une courbe elliptique supersingulière sur $k$ alors $\mathfrak{X}$ est également l'espace des déformation de $E$. Appliquant le théorème d'algébrisation de Grothendieck (GAGF) on en déduit que si $\mathfrak{X}= spf (R)$, la déformation universelle de la courbe elliptique $E$ sur $\mathfrak{X}$ provient en fait d'une courbe elliptique sur $spec (R)$. Le résultat s'en déduit par spécialisation sur $\mathcal{O}_K$.

P.S.: I read the rules for this forum: it is nowhere written the questions and answers should be written in english !!!!!!!!

Answer by Anton Geraschenko for Lifting the p-torsion of a supersingular elliptic curve.

2010-01-08T03:33:28Z

This is a rough translation of Laurent F.'s answer (see this meta.MO thread). It's community wiki so you can improve the translation if you have 100 rep.

The answer is yes. The reason is as follows. If $S$ is a scheme where $p$ is locally nilpotent, then by definition (cf. Messing's thesis, Chapter I), a truncated Barsotti-Tate group of level of $1$ over $S$ is a finite locally free group scheme over $S$ annihilated by $p$ such that if $G_0$ denotes the reduction of $G$ modulo $p$ we have $$ Im (F_{G_0}) = \ker (V_{G_0}) $$ as fppf sheaves on $S_0$, $S_0$ denoting the reduction modulo $p$ of $S$. However, it follows from the fiberwise criterion for flatness of EGA IV [Ed: he means EGA IV cor 11.3.11] that the morphism of $S_0$-group schemes of finite presentation $$ F:G_0 \rightarrow \ker (V_{G_0}) $$ is faithfully flat if and only if it is fiberwise over $S_0$. From this we deduce that in the definition of a $BT_1$ one can replace $S_0$ by $S_{red}$!

In the above considerations I took a scheme $S$ where $p$ is locally nilpotent, it follows that we have the same type of definition-result over a base which is a $p$-adic formal scheme.

We now return to the subject, namely the question of Kevin. We have that $G$ is a finite flat group scheme over the ring of integers of $K$ whose special fiber over the residue field of $K$ is a $BT_1$. The group scheme $G$ is hence a $BT_1$. [Ed: in fact this statement already implies Pilloni's result, by other results in the above cited article of Illusie.]

We will now use the following theorem (cf. the article of Illusie in Journees Arithmetiques de Rennes: "Déformations de groupes de Barsotti-Tate (d'après A. Grothendieck)", Astérisque 127). If $\mathcal{BT}_1$ , resp. $\mathcal{BT}$ denotes the stack of truncated Barsotti-Tate groups of level $1$, resp. of Barsotti-Tate groups, over bases that are schemes in which $p$ is locally nilpotent, then the morphism "points of $p$-torsion" $$ \mathcal{BT} \longrightarrow \mathcal{BT}_1 $$ is formally smooth. From this we deduce the following. Let $k$ be a perfect field of characteristic $p$ and $H$ a $p$-divisible group over $k$. Let $\mathfrak{X}$ be the space of deformations of $H$, a $spf (W(k))$-formal scheme non-canonically isomorphic to $spf \big(W(k)[[x_1,\dots,x_{d(h-d)}]]\big)$ where $h$ denotes the height of $H$ and $d$ dimension. Let $\mathcal{H}$ be the universal deformation of $\mathfrak{X}$. Then $\mathcal{H}[p]$ is a versal deformation of $H[p]$.

To conclude and answer the question of Kevin it suffices to invoke the theorem of Serre-Tate, which shows that if $H=E[p^\infty]$ where $E$ is a supersingular elliptic curve over $k$ then $\mathfrak{X}$ is the space of deformations of $E$. Applying the algebraization theorem of Grothendieck (GAGF) we deduce that if $\mathfrak{X}=spf(R)$, the universal deformation of the elliptic curve $E$ over $\mathfrak{X}$ actually becomes an elliptic curve over $spec(R)$. The result follows by specialization to $\mathcal{O}_K$.